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Théorème central limite (CLT)

Qu'est-ce que le théorème central limite (CLT) ?

En théorie des probabilités, le théorème central limite (CLT) indique que la distribution d'une variable d'échantillon se rapproche d'une distribution normale (c'est-à-dire, une « courbe en cloche ») à mesure que la taille de l'échantillon augmente, en supposant que tous les échantillons sont de taille identique, et quelle que soit la forme de répartition réelle de la population.

En d'autres termes, Le CLT est une prémisse statistique qui, étant donné une taille d'échantillon suffisamment grande d'une population avec un niveau fini de variance, la moyenne de toutes les variables échantillonnées de la même population sera approximativement égale à la moyenne de l'ensemble de la population. Par ailleurs, ces échantillons se rapprochent d'une distribution normale, avec leurs variances approximativement égales à la variance de la population à mesure que la taille de l'échantillon augmente, selon la loi des grands nombres.

Bien que ce concept ait été développé pour la première fois par Abraham de Moivre en 1733, il n'a été officialisé qu'en 1930, lorsqu'il est noté, le mathématicien hongrois George Polya l'a surnommé le théorème central limite.

Points clés à retenir

  • Le théorème central limite (CLT) indique que la distribution des moyennes de l'échantillon se rapproche d'une distribution normale à mesure que la taille de l'échantillon augmente, quelle que soit la répartition de la population.
  • Des tailles d'échantillon égales ou supérieures à 30 sont souvent considérées comme suffisantes pour le CLT.
  • Un aspect clé du CLT est que la moyenne des moyennes de l'échantillon et des écarts-types sera égale à la moyenne et à l'écart-type de la population.
  • Une taille d'échantillon suffisamment grande peut prédire les caractéristiques d'une population avec plus de précision.
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Théorème central limite

Comprendre le théorème central limite

D'après le théorème central limite, la moyenne d'un échantillon de données sera plus proche de la moyenne de l'ensemble de la population considérée, à mesure que la taille de l'échantillon augmente, nonobstant la distribution réelle des données. En d'autres termes, les données sont exactes, que la distribution soit normale ou aberrante.

En règle générale, des tailles d'échantillon d'environ 30-50 sont jugées suffisantes pour le CLT, ce qui signifie que la distribution des moyennes de l'échantillon est assez normalement distribuée. Par conséquent, plus on prend d'échantillons, plus les résultats graphiques prennent la forme d'une distribution normale. Noter, cependant, que la théorie de la limite centrale sera encore approximée dans de nombreux cas pour des tailles d'échantillon beaucoup plus petites, comme n=8 ou n=5.

Le théorème central limite est souvent utilisé en conjonction avec la loi des grands nombres, qui indique que la moyenne des moyennes et des écarts types de l'échantillon se rapprochera de la moyenne et de l'écart type de la population à mesure que la taille de l'échantillon augmente, ce qui est extrêmement utile pour prédire avec précision les caractéristiques des populations.

Sabrina Jiang / Investopedia

Le théorème central limite en finance

Le CLT est utile pour examiner les rendements d'une action individuelle ou d'indices plus larges, car l'analyse est simple, en raison de la relative facilité de génération des données financières nécessaires. Par conséquent, les investisseurs de tous types s'appuient sur le CLT pour analyser les rendements boursiers, construire des portefeuilles, et gérer les risques.

Dire, par exemple, un investisseur souhaite analyser le rendement global d'un indice boursier composé de 1, 000 actions. Dans ce scénario, cet investisseur peut simplement étudier un échantillon aléatoire d'actions pour cultiver les rendements estimés de l'indice total. Pour être sûr, utiliser au moins 30 à 50 actions sélectionnées au hasard dans divers secteurs, doit être échantillonné pour que le théorème central limite soit vérifié. Par ailleurs, les actions précédemment sélectionnées doivent être échangées avec des noms différents pour aider à éliminer les biais.