Ligne d'allocation de capital (CAL) et portefeuille optimal

La ligne d'allocation de capital (CAL) est une ligne qui représente graphiquement le profil risque-rendement des actifs, et peut être utilisé pour trouver le portefeuille optimal. Le processus de construction du CAL pour un ensemble de portefeuilles est décrit ci-dessous.

Rendement et variance attendus du portefeuille

Pour des raisons de simplicité, nous allons construire un portefeuille avec seulement deux actifs risqués.

Le rendement attendu du portefeuille est une moyenne pondérée des rendements attendus de ses actifs individuels, et est calculé comme :

E(Rp) =w 1 E(R 1 ) + w 2 E(R 2 )

Où w 1 , w 2 sont les poids respectifs des deux actifs, et E(R 1 ), E(R 2 ) sont les rendements attendus respectifs.

Les niveaux de variance se traduisent directement par les niveaux de risque ; une variance plus élevée signifie des niveaux de risque plus élevés et vice versa. La variance d'un portefeuille n'est pas seulement la moyenne pondérée de la variance des actifs individuels, mais dépend également de la covariance et de la corrélation des deux actifs. La formule de la variance du portefeuille est donnée par :

Var(R p ) =w ² 1 Var(R 1 ) + w ² 2 Var(R 2 ) + 2w 1 w 2 Cov(R 1 , R 2 )

Où Cov(R 1 , R 2 ) représente la covariance des deux rendements des actifs. Alternativement, la formule peut s'écrire :

?? ² p =w ² 1 ?? ² 1 + w ² 2 ?? ² 2 + 2ρ(R 1 , R 2 ) w 1 w 2 ?? 1 ?? 2 , en utilisant (R 1 , R 2 ), la corrélation de R 1 et R 2 .

La conversion entre corrélation et covariance est donnée par :ρ(R 1 , R 2 ) =Cov(R 1 , R 2 )/ σ 1 ?? 2 .

La variance du rendement du portefeuille est plus grande lorsque la covariance des deux actifs est positive, et moins lorsqu'il est négatif. Puisque la variance représente le risque, le risque du portefeuille est plus faible lorsque ses composantes d'actifs possèdent une covariance négative. La diversification est une technique qui minimise le risque du portefeuille en investissant dans des actifs à covariance négative.

En pratique, nous ne connaissons pas les rendements et les écarts types des actifs individuels, mais nous pouvons estimer ces valeurs sur la base des valeurs historiques de ces actifs.

La frontière efficace

Une frontière de portefeuille est un graphique qui cartographie tous les portefeuilles possibles avec différentes combinaisons de pondérations d'actifs, avec les niveaux d'écart type du portefeuille représentés sur l'axe des x et le rendement attendu du portefeuille sur l'axe des y.

Pour construire une frontière de portefeuille, nous attribuons d'abord des valeurs pour E(R 1 ), E(R 2 ), stdev(R 1 ), stdev(R 2 ), et (R 1 , R 2 ). En utilisant les formules ci-dessus, nous calculons ensuite le rendement attendu et la variance du portefeuille pour chacune des combinaisons possibles de pondération d'actifs (w 2 =1-w 1 ). Ce processus peut être fait facilement dans Microsoft Excel, comme le montre l'exemple ci-dessous :

Nous utilisons ensuite le graphique en nuage de points avec des lignes lisses pour tracer le rendement attendu et l'écart type du portefeuille. Le résultat est montré sur le graphique ci-dessous, où chaque point sur le graphique représente un portefeuille construit selon une combinaison de pondération d'actifs.

Alors, comment savoir quels portefeuilles sont attractifs pour les investisseurs ? Pour répondre à cela, nous introduisons le concept de critère moyenne-variance , qui stipule que le portefeuille A domine le portefeuille B si E(R UNE ) E(R B ) et UNE σ B (c'est-à-dire que le portefeuille A offre un rendement attendu plus élevé et un risque plus faible que le portefeuille B). Si tel est le cas, alors les investisseurs préféreraient A à B.

A partir du graphique, on peut en déduire que les portefeuilles sur la partie descendante de la frontière du portefeuille sont dominés par la partie ascendante. En tant que tel, les points sur la partie ascendante de la frontière du portefeuille représentent les portefeuilles que les investisseurs trouvent attractifs, tandis que les points sur la partie descendante représentent des portefeuilles inefficaces.

Selon le critère moyenne-variance, tout investisseur choisirait de manière optimale un portefeuille sur la partie ascendante de la frontière du portefeuille, qui s'appelle le frontière efficace , ou frontière de variance minimale . Le choix de tout portefeuille sur la frontière efficiente dépend des préférences de risque de l'investisseur.

Un portefeuille au-dessus de la frontière efficiente est impossible, tandis qu'un portefeuille en dessous de la frontière efficiente est inefficace.

Portefeuille complet et ligne d'allocation de capital

Dans la construction de portefeuilles, les investisseurs combinent souvent des actifs risqués avec des actifs sans risque (comme les obligations d'État) pour réduire les risques. Un portefeuille complet est défini comme la combinaison d'un portefeuille d'actifs risqués, avec retour R p , et l'actif sans risque, avec retour R F .

Le rendement attendu d'un portefeuille complet est donné par :

E(R c ) =w p E(R p ) + (1 − w p )R F

Et la variance et l'écart type du rendement complet du portefeuille sont donnés par :

Var(R c ) =w ² p Var(R p ), (R c ) =w p (R p ),

où w p est la fraction investie dans le portefeuille d'actifs risqués.

Alors que le rendement excédentaire attendu d'un portefeuille complet est calculé comme suit :

E(R c ) – R F ,

si nous substituons E(R c ) avec la formule précédente, nous obtenons w p (E(R p ) − R F ).

L'écart type du portefeuille complet est σ(R c ) =w p (R p ), ce qui nous donne :

w p =(R c )/σ(R p )

Par conséquent, pour chaque portefeuille complet :

Ou E(R c ) =R F + S p (R c ), où S p =

La ligne E(R c ) =R F + S p (R c ) est la ligne d'allocation de capital (CAL). La pente de la ligne, S p , est appelé le Rapport de netteté Ratio de SharpeLe ratio de Sharpe est une mesure du rendement ajusté au risque, qui compare le rendement excédentaire d'un investissement à son écart type des rendements. Le ratio de Sharpe est couramment utilisé pour évaluer la performance d'un investissement en ajustant son risque., ou le rapport récompense/risque. Le ratio de Sharpe mesure l'augmentation du rendement attendu par unité d'écart-type supplémentaire.

Portefeuille optimal

Le portefeuille optimal se compose d'un actif sans risque et d'un portefeuille optimal d'actifs risqués. Le portefeuille optimal d'actifs risqués se situe au point où le CAL est tangent à la frontière efficiente. Ce portefeuille est optimal car la pente de CAL est la plus élevée, ce qui signifie que nous obtenons les rendements les plus élevés par unité de risque supplémentaire. Le graphique ci-dessous illustre cela :

Les pondérations tangentes du portefeuille sont calculées comme suit :

Récapitulatif de la ligne d'allocation de capital

Les investisseurs utilisent à la fois la frontière efficiente et la CAL pour obtenir différentes combinaisons de risque et de rendement en fonction de ce qu'ils désirent. Le portefeuille risqué optimal se trouve au point où le CAL est tangent à la frontière efficiente. Cette combinaison de pondération d'actifs donne le meilleur rapport risque/rendement, car il a la pente la plus élevée pour CAL.

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Ressources additionnelles

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• Prime de risque de marchéPrime de risque de marchéLa prime de risque de marché est le rendement supplémentaire qu'un investisseur attend de la détention d'un portefeuille de marché risqué au lieu d'actifs sans risque.
• Définition du ratio de SharpeRatio de SharpeLe ratio de Sharpe est une mesure du rendement ajusté au risque, qui compare le rendement excédentaire d'un investissement à son écart type des rendements. Le ratio de Sharpe est couramment utilisé pour évaluer la performance d'un investissement en ajustant son risque.
• Calculatrice de ratio de SharpeCalculatrice de ratio de SharpeLa calculatrice de ratio de Sharpe vous permet de mesurer le rendement ajusté au risque d'un investissement. Téléchargez le modèle Excel et le calculateur de ratio de Sharpe de CFI. Ratio de Sharpe =(Rx - Rf) / StdDev Rx. Où :Rx =Rendement attendu du portefeuille, Rf =taux de rendement sans risque, StdDev Rx =Écart-type du rendement/volatilité du portefeuille